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第七十一幕.莱纳的数学教室(下)
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    第七十一幕.莱纳的数学教室(下)(第 3/3 页)

    最终,椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e/(1-e*cosθ),e=b^2/a,e=c/a,a是椭圆的长轴的一般,而b则是短轴的一半,而c则是两个焦点之间的距离。

    “这两个公式,很像。”

    丹娜意识到了一些问题,但却没办法得出结论。

    没有等待她们仔细思考,莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

    双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数,且小于两个点之间距离的点的集合,莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程,因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

    r=e/(1-e*cosθ)。

    这三个方程的形式惊人地一致,让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

    “实际上,我们可以假设抛物线也存在一个e,只不过这个e的值是1,而焦点与长短轴的长度也能统一,这样来看,椭圆,双曲线,抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示,而决定它们不同的便是这个e,我定义其为离心率。”

    看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式,莱纳说道。

    “当离心率小于1,那么便是双曲线,当离心率大于1,则是椭圆,而当离心率等于1,便是抛物线,当离心率等于0,那么这便是一个正圆。”

    他的结论看似难以接受,但一步步的推导过程却又是如此明晰,克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

    “由此,我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化,同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义:平面上,与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合,这个常数便是离心率e!”

    放下粉笔,莱纳轻声说道。

    “证明完毕。”
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