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    第260章 击败割圆法的力量(第 3/4 页)

    （1+x）^n=1+nx+n(n-1)x^2/2！+n(n-1)(n-2)x^3/3!+……

    二项式定理！

    随意将n的数值代入，便能求到第n行的杨辉三角数值。

    林奇嘴角流露微笑，当时的数学家都知道这个公式，却不知道如何利用起来。

    它看着很美，可就如法拉第等人发现电磁感应，富兰克林吸引雷电，安培发现电流等等，他们都在接触“电”这个庞然大物之初，都不知道实际意义所在。

    知道电动机、发电机出现，才是真正所用之处。

    同样，牛顿也大笔一挥，将整个二项式公式推倒重建！

    他尝试着将原本公司规定的n必须是正整数无视，直接代入n=-1！

    从而公式变成了（1+x）^-1=1-1x+1x^2-1x^3……

    有限的杨辉三角开始走向无限的级数。

    因为原本项数里，能够靠着（n-n）=0使得后面的项都为0。

    可n=-1时，原本有限的杨辉三角项数便再也不全为零，无限的级数便是无限的可能。

    而这个公式，牛顿发觉两边同时乘以（1+x）会变成1=1，所以确实在某种角度而言，是有意义的。

    后来牛顿便尝试着将n=1/2代入，同样也可以展开多项式。

    到了这一步，曾经的林奇便开始震撼，因为1/2次方就是开根号！

    要知道圆的方程是x^2+y^2=1。

    因此y=（1-x^2）^1/2。

    这便可以展开成一个新的多项式，仅仅把多项式的x替换为-x^2即可。

    （1-x^2）^1/2=1-1/2x^2-1/8x^4--1/16x^6……

    至此，魔法的烟花终于开始释放！

    对公式两边同时积分即为面积，区间为0到1之间。

    以左边（1-x^2）^1/2积分结果就是四分之一圆——

    π/4！

    右边公式，积分后是1-1/6-1/40-1/112-5/1152……

    也就是π=4（1-1/6-1/40-1/112-5/1152……）

    谁也无法相信，这右边的无穷级数居然能够算出π！

    能够精确到小数点后任意一位数。

    从此π的计算，便走向了另一个维度，再也没有人进行割圆，反而是在继续优化这条公式。

    诸如对0-1/2的区间进行积分，加快收敛速度。

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